Введите слово или словосочетание на любом языке 👆
Язык:
Перевод и анализ слов искусственным интеллектом ChatGPT
На этой странице Вы можете получить подробный анализ слова или словосочетания, произведенный с помощью лучшей на сегодняшний день технологии искусственного интеллекта:
- как употребляется слово
- частота употребления
- используется оно чаще в устной или письменной речи
- варианты перевода слова
- примеры употребления (несколько фраз с переводом)
- этимология
Что (кто) такое ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ: СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ - определение
ИНЪЕКЦИЯ ЛЕКВИДНОСТИ
Современная Денежная Теория; Современная монетарная теория
Найдено результатов: 1106
ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ: СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ
К статье ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ
Пользуясь в основном такими средствами, как степенные ряды, контурный интеграл и дифференцирование, математики в последующие десятилетия сумели достичь значительных успехов в изучении следствий из предположения об аналитичности функций. Перечень имен тех, чьи труды способствовали прогрессу в этой области, простирается от П.Дирихле (1805-1859) и Римана и до Г.Вейля (1885-1955), У.Осгуда (1864-1943), Ж.Валирона (1885-1955), Г.Шварца (1843-1921), Р.Неванлинны (1895-1980) и других аналитиков, ныне активно работающих в теории функций и смежных областях.
Многие удивительные свойства аналитических функций легко представить на языке геометрии или топологии. Начнем с того, что откажемся от точки зрения, которой мы до сих пор руководствовались и согласно которой функция задается аналитической формулой, например, бесконечным рядом. Вместо этого будем рассматривать функцию F как отображение z . w = F(z), ставящее в соответствие точкам плоскости z точки плоскости w. Если S - любое множество точек из области определения функции F на плоскости z, то F(S) - образ этого множества на плоскости w, состоящий из всех точек F(z), таких, что z принадлежит S. Множество S называется открытым, если каждая точка множества S является центром диска, целиком лежащего в S. Одно из важных свойств аналитической функции F состоит в том, что образ любого открытого множества S на плоскости z всегда является открытым множеством на плоскости w, если только F - не константа. Из этого топологического свойства можно вывести знаменитый "принцип максимума модуля": если функция f аналитична и не является константой в замкнутой области D, то наибольшее значение действительной непрерывной функции |f(z)| достигается, когда z - не внутренняя точка области D, а лежит на границе области D.
В топологии гомеоморфизмом называется взаимно однозначное непрерывное отображение, которое переводит открытые множества в открытые; аналитические функции обычно гомеоморфизмами не являются. Например, отображение z . ez, задаваемое экспоненциальной функцией, не взаимно однозначно, а отображает каждую из точек z0 + 2k?i в одну и ту же точку плоскости w при k = 0, ?1, ?2, ...; но эти точки расположены так далеко одна от другой, что отображение, задаваемое экспоненциальной функцией, взаимно однозначно (и, следовательно, гомеоморфно) на любой круговой области плоскости z, диаметр которой меньше 2?. Такое поведение описывают, говоря, что отображение z . ez "локально" гомеоморфно на всей плоскости z. Аналогично обстоит дело и в общем случае. Можно показать, что если функция F аналитична на множестве D и мы удалим из D все точки, в которых F. принимает нулевое значение, то на остальной части множества D функция F задает локальный гомеоморфизм. Например, w = z2 + 1 определяет локальный гомеоморфизм на всей плоскости z за исключением начала координат.
Отсюда следует еще одно особое свойство. Если функция F аналитична в области D и отлична от константы, то можно попытаться определить множество S точек z из D, которые служат решениями уравнения F(z) = A. Разумеется, таких точек может не быть; однако можно показать, что если таких точек бесконечно много, то они должны сходиться к границе области D. Удивительным следствием этого факта является теорема единственности для аналитических функций, отражающая гибкую природу аналитической функции: если f и g - функции, каждая из которых аналитична в одной и той же области D, и если значения функций f и g совпадают на множестве S, содержащем малый диск или малую дугу, или даже на сходящейся последовательности точек из D, то f и g совпадают на всей области D. Это свойство иногда называют перманентностью формы: если известно, что формула (10) выполняется для действительных чисел t, 0 < t < ?, то мы можем сразу же заключить, что она должна выполняться и для всех комплексных значений t.
Как уже упоминалось, аналитические функции отображают открытые множества в открытые. Естественно задать вопрос: если D1 - открытая область на плоскости z, а D2 - открытая область на плоскости w, то существует ли функция f, аналитическая на D1, которая отображает, причем взаимно однозначно, D1 на D2. Если ответ на этот вопрос утвердительный, то говорят, что f конформно отображает D1 на D2, а об областях D1 и D2 говорят, что они принадлежат к одному и тому же конформному типу. В качестве примера заметим, что вся плоскость и любой открытый диск принадлежат к различным конформным типам; это следует из теоремы Ж.Лиувилля (1809-1882), которая гласит: любая функция F, аналитическая на всей плоскости, не может отображать плоскость на любое ограниченное множество (лежащее целиком внутри какого-нибудь диска конечного радиуса), если только F не константа. Наиболее известный результат такого рода - теорема Римана об отображениях, которая утверждает, что любая односвязная открытая область D на плоскости принадлежит к тому же конформному типу, что и открытый круговой диск единичного радиуса. (Под односвязностью здесь имеется в виду топологическое понятие, означающее в данном случае, что плоскость не распадается на два или большее число кусков, если из нее удалить область D.)
Вопрос о конформном типе многосвязной области (рис. 6) более сложен. Две области с одним и тем же числом дырок необязательно принадлежат одному и тому же конформному типу, хотя они и гомеоморфны. Например, любая двусвязная область принадлежит тому же конформному типу, что и некоторое кольцо (рис. 6) с внутренним радиусом, равным 1; однако два таких кольца конформно неэквивалентны за исключением того случая, когда их размеры в точности совпадают.
Полезно также рассмотреть, каким образом аналитическая функция отображает кривые на плоскости z на кривые на плоскости w. Если . и . - две гладкие кривые, проходящие через точку z0, образуя в этой точке между собой угол ?, то их образами и будут кривые, проходящие через точку w0 = F(z0) и образующие в этой точке между собой некоторый угол (рис. 7). Из уравнений Коши - Римана (7) следует, что всегда за исключением того случая, когда F?(z0) = 0. Но и в последнем случае кое-что можно утверждать, не ограничивая общности, так как , где m - наименьшее из целых чисел k, при которых F(k)(z0) . 0. Поэтому говорят, что в общем случае аналитические функции задают конформные (т.е. сохраняющие углы) отображения; например, w = z2 + 1 - отображение, конформное всюду за исключением начала координат, где углы удваиваются.
Исследуя, каким образом аналитическая функция отображает кривые, можно получить также дополнительную информацию и о ней самой. Пусть . - замкнутая кривая, лежащая в односвязной области D, в которой функция f аналитична; предположим, что . не имеет самопересечений. Пусть S - область, границей которой служит ?. Образ ??. кривой . под действием отображения f может пересекать самого себя несколько раз (рис. 8). Выберем любую точку w0, не лежащую на кривой ???, и подсчитаем сколько раз ??. делает полный обход вокруг w0 (число обходов обозначим N). (На рис. 8 N = 2.) Тогда в области S должно быть ровно N решений уравнения f(z) = w0. Это утверждение, известное под названием "принцип аргумента", является основным инструментом анализа расположения нулей (точек, в которых w0 = 0) аналитической функции.
Исследование природы аналитических функций продолжает привлекать внимание многих математиков. Хотя трудно перечислить их достижения, не вдаваясь при этом в излишне специальные детали, нельзя не упомянуть некоторые из направлений современных исследований. Среди общих целей - (1) установление взаимосвязей между распределением нулей аналитической функции и способом, которым она отображает некоторое семейство областей (например, дисков); (2) изучение поведения аналитической функции вблизи границы ее области определения; (3) установление зависимостей между поведением функции в одной точке и ее поведением в какой-то другой точке, находящейся на некотором расстоянии от первой и (4) установление характеристических свойств, которыми обладают все функции некоторого класса (например, свойство всех функций f отображать данную область D1 на область D2). В последнее десятилетие математики стали уделять больше внимания сложным проблемам, связанным с теорией функций двух и более комплексных переменных, аналитических по каждой из переменных в отдельности.
Теория приближений
Аппроксимация функций; Теория аппроксимации
Теория приближений — раздел математики, изучающий вопрос о возможности приближённого представления одних математических объектов другими, как правило более простой природы, а также вопросы об оценках вносимой при этом погрешности. Значительная часть теории приближения относится к приближению одних функций другими, однако есть и результаты, относящиеся к абстрактным векторным или топологическим пространствам.
ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ
СТРАНИЦА ЗНАЧЕНИЙ
Функций теория
раздел математики, занимающийся изучением свойств различных функций. Теория функций распадается на две области: теорию функций действительного переменного и теорию функций комплексного переменного, различие между которыми настолько велико, что обычно их рассматривают порознь. Не вдаваясь в детали, можно сказать, что по существу речь идет о различии, с одной стороны, в детальном изучении основных понятий математического анализа (таких, как непрерывность, дифференцирование, интегрирование и т.п.), а с другой стороны, в теоретическом развитии анализа конкретных функций, представимых степенными рядами. Одним из достижений теории функций действительного переменного стало создание хорошей теории интегрирования, которую мы рассмотрим ниже. См. также АНАЛИЗ В МАТЕМАТИКЕ
; МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
; ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
; ФУНКЦИЯ
; ЧИСЛО
; РЯДЫ
; МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
; ТОПОЛОГИЯ
.
; МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
; ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
; ФУНКЦИЯ
; ЧИСЛО
; РЯДЫ
; МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
; ТОПОЛОГИЯ
.
См. также:
Теория катастроф
Катастроф теория; Теория особенностей
Теория катастроф — раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких отображений. Теория катастроф — раздел современной математики, который является дальнейшим развитием теории устойчивости и бифуркаций.
КАТАСТРОФ ТЕОРИЯ
Катастроф теория; Теория особенностей
(катастрофизм) (от греч. katastrophe - поворот, переворот), геологическая концепция, согласно которой в истории Земли периодически повторяются события, внезапно изменяющие первично горизонтальное залегание горных пород, рельеф земной поверхности и уничтожающие все живое. Выдвинута в 1812 французским ученым Ж. Кювье для объяснения смены фаун и флор, наблюдаемых в геологических пластах. К кон. 19 в. катастроф теория потеряла свое значение.
Катастроф теория
Катастроф теория; Теория особенностей
катастрофизм учение 1-й половины 19 в., рассматривавшее геологическую историю Земли как чередование длительных эпох относительного покоя и сравнительно коротких катастрофических событий, резко преображавших лик планеты. Идея о катастрофах зародившаяся в глубокой древности, в 17-18 вв. стала использоваться для истолкования геологической истории. Но т.к. длительность существования Земли до начала 19 в. оценивалась не более чем в 100 тыс. лет, было трудно объяснить действием обычных причин зафиксированные в толщах пород огромные изменения, претерпевавшиеся Землёй и её органическим миром в прошлом. Стремясь найти выход из этого затруднения, французский естествоиспытатель Ж. Кювье в 1812 выдвинул гипотезу о катастрофах (переворотах), во время которых на большей части планеты якобы погибало всё живое, а затем опустошённые места заселялись другими видами организмов, пережившими катастрофу в отдалённых районах. Это была попытка не только объяснить грандиозность прошлых преобразований Земли, но и преодолеть противоречие между господствовавшими убеждениями в неизменности видов и уже тогда прочно установленным фактом многократной смены в геологическом разрезе отличных друг от друга ископаемых флор и фаун. Идеи Кювье развивали французский палеонтолог А. д'Орбиньи, швейцарский геолог Л. Агассис, английский геолог А. Седжвик и др., насчитывавшие в геологической истории Земли 27 катастроф, во время которых якобы погибал весь органический мир. После каждой катастрофы, по представлениям этих учёных, в результате очередного божественного "акта творения" создавались совершенно новые растения и животные, не связанные с ранее существовавшими; каждый раз они были более сложно и совершенно организованы, чем предшествующие. В периоды между катастрофами никакого развития и изменений вновь созданные живые существа якобы не претерпевали. Концепция катастрофизма и неоднократных творческих актов согласовывалась с библейской версией творения мира. Принимая эту концепцию, можно было объяснить современное состояние поверхности Земли как результат последнего во времени творческого акта.
Тем не менее катастрофизм первой половины 19 в. сыграл положительную роль в развитии биостратиграфии (См. Биостратиграфия), поскольку учением о резких границах между различными по возрасту толщами и качественным своеобразием органического мира каждого периода (эпохи, века) он способствовал укреплению понятия о руководящих окаменелостях. Положительным было и то, что благодаря К. т. широко распространились идеи о прогрессе в органическом мире и об эпизодических событиях, нарушающих однообразие в истории Земли. Это способствовало формированию в дальнейшем представлений о сочетании эволюционного и скачкообразного развития. В середине 19 в. К. т. стала утрачивать своё значение в геологии благодаря победе представлений о том, что ныне действующих геологических факторов достаточно для осуществления за длительный срок всех перемен, зафиксированных в разрезе (Ч. Лайель). Позднее катастрофизм был побежден и в биологии в результате развития эволюционных представлений (Ч. Дарвином и др.). Однако отказ от идей катастрофизма не был окончательным: в 1-й половине 20 в. они частично возродились в форме так называемого неокатастрофизма - представления об одновременных на всей планете фазах складчатости и горообразования, прерывающих длительные эпохи относительного покоя и медленной эволюции коры (нем. геолог Х. Штилле и его последователи); высказываются мысли о катастрофических событиях во Вселенной, вызывающих усиленную радиацию, обусловливающую гибель одних групп организмов и быстрые мутационные изменения других, приводящие к возникновению новых видов и родов живых организмов (нем. палеонтолог О. Шиндевольф). Убедительная критика идей неокатастрофизма в тектонике дана Н. С. Шатским, а в палеонтологии - Л. Ш. Давиташвили.
В. В. Тихомиров.
Функций теория
СТРАНИЦА ЗНАЧЕНИЙ
Функций теория
раздел математики, в котором изучаются общие свойства функций (См. Функции). Ф. т. распадается на две части: теория функций действительного переменного и теория функций комплексного переменного.
В "классическом" математическом анализе основным объектом изучения являются непрерывные функции (См. Непрерывная функция), заданные на (конечных или бесконечных) интервалах и обладающие более или менее высокой степенью гладкости. Однако уже со 2-й половины 19 в. развитие математики всё настоятельнее стало требовать систематического изучения функций более общего типа. Основной причиной этого является то, что Предел последовательности непрерывных функций может быть разрывен. Иными словами, класс непрерывных функций оказывается незамкнутым относительно важнейшей операции анализа - предельного перехода. В связи с этим функции, определяемые при помощи таких классических средств, как тригонометрические ряды, часто оказываются разрывными или недифференцируемыми. По той же причине могут быть разрывны производные непрерывных функций и т.п. Наконец, дифференциальные уравнения, возникающие при рассмотрении физических задач, иногда не имеют решений в классе достаточно гладких функций, но имеют их в более широких классах функций (если надлежащим образом сообщить само понятие решения). Весьма важно, что именно эти обобщённые решения (см. Обобщённые функции) и дают ответ на исходную физическую задачу. Эти и аналогичные им обстоятельства стимулировали создание Ф. т. действительного переменного.
Отдельные частные факты Ф. т. действительного переменного были открыты ещё в 19 в. (существование рядов непрерывных функций с разрывной суммой, примеры нигде не дифференцируемых непрерывных функций, не интегрируемых функций и т.п.). Однако эти факты воспринимались обычно как "исключения из правил" и не объединялись никакими общими схемами. Лишь в начале 20 в., когда в основу изучения функций были положены методы множеств теории (См. Множеств теория), стала развиваться систематически современная Ф. т. действительного переменного.
Можно различить три направления в Ф. т. действительного переменного.
1) Метрическая Ф. т., где свойства функций изучаются при помощи меры (см. Мера множества) тех множеств, на которых эти свойства имеют место. В метрической Ф. т. с общих точек зрения изучаются интегрирование и дифференцирование функций (см. Интеграл, Дифференциал, Производная), различными способами обобщается понятие сходимости (См. Сходимость) функциональных последовательностей, исследуется строение разрывных функций весьма широкого типа и т.п. Важнейшим классом функций, изучаемым в метрической Ф. т., являются Измеримые функции.
2) Дескриптивная Ф. т., в которой основным объектом изучения является операция предельного перехода (см. Бэра классификация).
3) Конструктивная Ф. т., изучающая вопросы изображения произвольных функций при помощи надлежащих аналитических средств (см. Приближение и интерполирование функций).
О Ф. т. комплексного переменного см. Аналитические функции.
Лит.: Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. - Л., 1948; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976.
Теория информации
РАЗДЕЛ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ, РАДИОТЕХНИКИ И ИНФОРМАТИКИ, ОТНОСЯЩИЙСЯ К ИЗУЧЕНИЮ СВОЙСТВ ИНФОРМАЦИИ
Информации теория; Математическая теория связи; Теория передачи информации
Теория информации — раздел прикладной математики, радиотехники (теория обработки сигналов) и информатики, относящийся к измерению количества информации, её свойств и устанавливающий предельные соотношения для систем передачи данных. Как и любая математическая теория, теория оперирует математическими моделями, а не реальными физическими объектами (источниками и каналами связи).
ХАОСА ТЕОРИЯ
![аттрактора Лоренца]] для значений ''r'' = 28, σ = 10, ''b'' = 8/3](https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:FilePath/Lorenz attractor yb.svg?width=200 "аттрактора Лоренца]] для значений ''r'' = 28, σ = 10, ''b'' = 8/3")
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ, ОПИСЫВАЮЩИЙ ПОВЕДЕНИЕ НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ, ПОДВЕРЖЕННЫХ ПРИ ОПРЕДЕЛЁННЫХ УСЛОВИЯХ ЯВЛЕНИЮ
Хаоса теория; Теория динамического хаоса
раздел математики, изучающий кажущееся случайным или очень сложное поведение детерминированных динамических систем. Динамическая система - это такая система, состояние которой меняется во времени в соответствии с фиксированными математическими правилами; последние обычно задаются уравнениями, связывающими будущее состояние системы с текущим. Такая система детерминирована, если эти правила не включают явным образом элемента случайности.
Вплоть до 1960-х годов многим казалось естественным полагать, что динамическая система, описываемая простыми детерминистическими уравнениями, должна вести себя относительно просто, хотя уже более столетия было известно, что это верно лишь в некоторых весьма специальных случаях, таких, как Солнечная система. Однако к 1980 математики и естествоиспытатели обнаружили, что хаос вездесущ.
Пример хаотического поведения из повседневной жизни - движение жидкости в миксере. Это устройство подчиняется простым механическим законам: его нож-смеситель вращается с постоянной скоростью, и взаимодействие жидкости с ножом внутри миксера можно описать простыми детерминистическими уравнениями. Однако возникающее при этом движение жидкости весьма сложно. Ее соседние области рассекаются ножом и разделяются, а отдаленные области могут сближаться. Короче говоря, жидкость перемешивается - для этого миксеры и предназначены.
Выражение "теория хаоса" используется преимущественно в популярной литературе. Специалисты же рассматривают эту дисциплину как раздел теории динамических систем.
Основные принципы. Для изучения хаоса используют общие математические принципы и компьютерное моделирование. Фундаментальной характеристикой всякой динамической системы является итерация, т.е. результат повторного (многократного) применения одного и того же математического правила к некоторому выбранному состоянию. Состояние обычно описывается числом или набором чисел, но это может быть также геометрическая фигура или конфигурация. Например, пусть правилом будет "разделить на два". Начав с исходного состояния, задаваемого числом 1, это правило дает итерации 1/2, 1/4, 1/8,..., образующие очевидную закономерную последовательность. Правило "возвести в квадрат и вычесть единицу", примененное к 0, дает последовательность -1, 0, -1, 0,..., которая циклически и неограниченно скачет между числами 0 и ?1. Однако правило "возвести в квадрат, удвоить и затем вычесть единицу", если начать применять его, скажем, к значению 0,1, порождает последовательность чисел ?0,98, 0,92, 0,69, ?0,03,..., в которой не удается заметить никакой очевидной закономерности.
Основным понятием теории хаоса является аттрактор, т.е. то поведение, к которому в конце концов приходит или в пределе стремится система. Аттракторами для трех описанных выше систем являются: единственное число 0; пара чисел (0, ?1); весь интервал чисел между -1 и 1. Динамика в этих трех случаях соответственно стационарная, периодическая и хаотическая. Хаотический аттрактор обладает скрытой структурой, которая часто становится явной после графического представления итераций. Состояние динамической системы - это набор чисел, которые можно интерпретировать как координаты изображающей его точки в некотором фазовом пространстве. Когда состояние системы меняется, эта точка движется. Для стационарного аттрактора движущаяся точка стремится к фиксированному положению, а для периодического аттрактора она циклически проходит через фиксированную последовательность положений. В случае хаотического аттрактора движущаяся точка образует более сложную конфигурацию с очень хитроумной, многослойной структурой. Такие конфигурации называют фракталами; этот термин был введен в 1970 Б.Мандельбротом. Его работы впоследствии стимулировали огромное количество исследований по фрактальной геометрии.
Важной чертой хаотической динамики является ее непредсказуемость. Представим себе две частички порошка, находящиеся рядом друг с другом в жидкости внутри миксера. После включения миксера эти две частички недолго останутся рядом; они быстро разойдутся в разные стороны и вскоре начнут двигаться независимо. Подобным же образом, если дважды запустить хаотическую систему из очень близких начальных состояний, ее поведение в этих двух случаях быстро станет совершенно непохожим. Это означает, что на больших временных интервалах хаотические системы непредсказуемы. Малейшая погрешность измерения начального состояния быстро растет, и предсказание будущего состояния становится все более неточным. Однако, в отличие от случайной системы, краткосрочное прогнозирование здесь возможно.
История вопроса. Понятие хаоса не было в явном виде сформулировано до 1960-х годов, но его истоки можно проследить начиная с последнего десятилетия 19 в., когда появилась удостоенная премии работа французского математика А.Пуанкаре о движении в Солнечной системе. Двумя столетиями раньше Ньютон установил закон всемирного тяготения, из которого вывел, что движение двух притягивающихся тел в отсутствие других сил описывается просто: каждое из них перемещается относительно их общего центра масс по одному из конических сечений - окружности, эллипсу, параболе, гиперболе или прямой. Для трех или большего числа тел, однако, нельзя найти подобного простого решения, и Пуанкаре показал, что эта трудность вызвана не недостатком человеческой изобретательности, а свойствами, внутренне присущими динамике многих тел. Он установил, что даже в ограниченной задаче трех тел, масса одного из которых пренебрежимо мала, возможно столь сложное движение, что его нельзя описать никакой математической формулой. См. также НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
.
.
В 1926-1927 голландский инженер Б.Ван-дер-Пол сконструировал электронную схему, соответствующую математической модели сердечных сокращений. Он обнаружил, что при определенных условиях возникающие в схеме колебания были не периодическими, как при нормальном сердцебиении, а нерегулярными. Его работа получила серьезное математическое обоснование в годы Второй мировой войны, когда Дж.Литтлвуд и М.Картрайт исследовали принципы радиолокации. В начале 1960-х годов американский математик С.Смейл попытался построить исчерпывающую классификацию типичных разновидностей поведения динамических систем. Поначалу он предполагал, что можно обойтись различными комбинациями периодических движений, но вскоре понял, что возможно значительно более сложное поведение. В частности, он подробнее исследовал открытое Пуанкаре сложное движение в ограниченной задаче трех тел, упростив геометрию и получив при этом систему, известную ныне как "подкова Смейла". Он доказал, что такая система, несмотря на ее детерминированность, проявляет некоторые черты случайного поведения. Другие примеры подобных явлений были разработаны американской и российской школами в теории динамических систем, причем особенно важным оказался вклад В.И.Арнольда. Так начала возникать общая теория хаоса. Сам термин "хаос" ввели Дж.Йорке и Т.Ли в 1975 в краткой статье, посвященной обсуждению некоторых результатов исследований российской школы.
Исследования хаотических систем время от времени появлялись и в литературе по прикладным вопросам. Наиболее известная из таких моделей была введена метеорологом Э.Лоренцем в 1963. Лоренц построил модель конвекции в атмосфере, создав приближения очень сложных уравнений, описывающих это явление, значительно более простыми уравнениями с тремя неизвестными. Численно решая их на компьютере, он обнаружил, что решения колеблются нерегулярным, почти случайным образом. Лоренц также установил, что если слегка изменять начальные значения переменных, то отклонения будут усиливаться, пока новое решение не окажется совершенно непохожим на исходное. Описание им этого явления в последующих лекциях привело к популярному ныне выражению "эффект бабочки": взмах крыла бабочки может изменить погоду.
Примеры приложений. Теория хаоса находит приложения в широком спектре наук. Одним из самых ранних стало ее применение к анализу турбулентности в жидкости. Движение жидкости бывает либо ламинарным (гладким и регулярным), либо турбулентным (сложным и нерегулярным). До появления теории хаоса существовали две конкурирующие теории турбулентности. Первая из них представляла турбулентность как накопление все новых и новых периодических движений; вторая объясняла неприменимость стандартной физической модели невозможностью описания жидкости как сплошной среды в молекулярных масштабах. В 1970 математики Д.Рюэль и Ф.Такенс предложили третью версию: турбулентность - это хаос в жидкости. Их предположение поначалу считалось весьма спорным, но с тех пор оно было подтверждено для нескольких случаев, в частности, для ранних стадий развития турбулентности в течении между двумя вращающимися цилиндрами. Развитая турбулентность по-прежнему остается загадочным явлением, но хаоса вряд ли удается избежать в любом возможном ее объяснении. См. также ГИДРОАЭРОМЕХАНИКА
.
.
Ранняя работа Э.Лоренца в области метеорологии получила дальнейшее развитие, и теперь известно, что полные уравнения поведения атмосферы, используемые при прогнозировании погоды, могут вести себя хаотически. Это означает, что долгосрочные прогнозы погоды на основе данных о ее прошлом состоянии подвержены "эффекту бабочки", так что погода обычно не может быть предсказана более чем на четыре или пять дней вперед - независимо от мощности используемых компьютеров.
Движение в Солнечной системе тоже, как известно, хаотично, но здесь требуются десятки миллионов лет, прежде чем какое-то изменение станет непредсказуемым. Хаос проявляет себя многообразными способами. Например, спутник Сатурна Гиперион обращается по регулярной, предсказуемой орбите вокруг своей планеты, но при этом он хаотически кувыркается, изменяя направление оси собственного вращения. Теория хаоса объясняет это кувыркание как побочное действие приливных сил, создаваемых Сатурном. Теория хаоса объясняет также распределение тел в поясе астероидов между Марсом и Юпитером. Оно неравномерно: на одних расстояниях от Солнца существуют сгущения, на других - пустые промежутки. И сгущения, и пустые промежутки их гелиоцентрических орбит находятся на расстояниях, образующих "резонансы" с Юпитером, т.е. период обращения каждого астероида составляет некую простую дробь с периодом обращения Юпитера. Например, в резонансе 2:3 период обращения астероида равен 2/3 периода обращения Юпитера. Теория хаоса показывает, что одни резонансы порождают устойчивое поведение (сгущения), тогда как другие - неустойчивое (пустые промежутки). В частности, астероиды в резонансе 1:3 с Юпитером имеют неустойчивые орбиты и могут испытать возмущения, заставляющие их пересечь орбиту Марса, после чего они могут испытать дальнейшие возмущения и пересечь орбиту Земли. В 1995 Ж.Ласкар установил, что на временных масштабах десятков миллионов лет вся Солнечная система хаотична. Однако хаос не делает все черты движения в Солнечной системе непредсказуемыми. Например, форма планетной орбиты может быть предсказуемой, однако точное положение планеты на орбите остается непредсказуемым. Ласкар предсказал вероятное будущее Солнечной системы в целом на следующие несколько миллиардов лет. Согласно его вычислениям, ничего существенного не случится с орбитами внешних планет - Юпитера, Сатурна, Урана, Нептуна и Плутона. Орбиты Земли и Венеры тоже не претерпели бы существенных изменений, если бы не Марс, орбита которого изменится настолько, что он едва не столкнется с Землей. Меркурий тоже приблизится к Венере и будет либо выброшен из Солнечной системы, либо поменяется местами с Венерой.
Хаос имеет место также в биологии и экологии. В конце 19 в. было установлено, что популяции животных редко бывают стабильными; им свойственны нерегулярно чередующиеся периоды быстрого роста и почти полного вымирания. Теория хаоса показывает, что простые законы изменения численности популяций могут объяснить эти флуктуации без введения случайных внешних воздействий. Теория хаоса также объясняет динамику эпидемий, т.е. флуктуирующих популяций микроорганизмов в организмах людей.
Может создаться впечатление, что теория хаоса не должна иметь каких-либо полезных применений, поскольку хаотические системы непредсказуемы. Однако это неверно, во-первых, потому, что лишь некоторые аспекты хаотических систем непредсказуемы, и, во-вторых, потому, что полезность теории не ограничивается способностью прямого прогнозирования. В частности, теория хаоса предлагает новые методы анализа данных и обнаружения скрытых закономерностей там, где прежде систему считали случайной и никаких закономерностей в ее поведении не искали, полагая, что их просто не существует. Одним из приложений этого подхода служит машина FRACMAT, обеспечивающая дешевую и быструю процедуру контроля качества пружинной проволоки.
К числу наиболее перспективных применений теории хаоса принадлежит "хаотическое управление". В 1950 Дж.фон Нейман предположил, что неустойчивость погоды может в один прекрасный день обернуться благом, поскольку неустойчивость означает, что желаемый эффект может быть достигнут очень малым возмущением. В 1990 С.Гребоджи, Э.Отт и Дж.Йорке опубликовали теоретическую схему использования этого вида неустойчивости для управления хаотическими системами. Их схема представляет собой общую форму того метода, с помощью которого в 1985 инженеры НАСА послали космический зонд на встречу с кометой Джакобини - Циннера. Зонд пять раз облетел Луну, используя хаотичность взаимодействия трех тел, позволяющую совершать большие изменения траектории с малыми затратами топлива. Тот же метод был применен для синхронизации батареи лазеров; для управления нерегулярностями сердцебиения, что открывает возможность создать "интеллектуальный" стимулятор сердечного ритма; для управления биотоками мозга, что, в частности, может помочь контролировать эпилептические припадки; наконец, для ламинаризации турбулентного течения жидкости - метод, который способен уменьшить расход топлива самолетами.
ИНФОРМАЦИИ ТЕОРИЯ
РАЗДЕЛ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ, РАДИОТЕХНИКИ И ИНФОРМАТИКИ, ОТНОСЯЩИЙСЯ К ИЗУЧЕНИЮ СВОЙСТВ ИНФОРМАЦИИ
Информации теория; Математическая теория связи; Теория передачи информации
(иногда - сообщений теория) , раздел кибернетики, в котором математическими методами изучаются способы измерения количества информации, содержащейся в каких-либо сообщениях, и ее передачи.
Википедия
Современная денежная теория
Современная денежная теория (СДТ), или современная монетарная теория (англ. Modern Monetary Theory (MMT)), неохартализм — неортодоксальная экономическая теория, согласно которой деньги являются государственной монополией, поддерживаемой с целью концентрации общественных ресурсов в руках государства. Согласно этой теории, единственное объективное ограничение эмиссии денег в современных промышленных государствах — имеющиеся производственные мощности и трудовые ресурсы. Как и в теории Джона Мейнарда Кейнса, макроэкономические рецессии и безработица видятся как результат сдерживания денежной массы правительством, не имеющего объективных причин. СДТ обычно рассматривают как развитие теорий хартализма и посткейнсианства.
СДТ можно разделить на две части — теоретическую и практическую. Теоретическая часть представляет собой эмпирическое описание механизмов денежной системы современных суверенных государств. Суверенное государство — государство, выпускающее собственную валюту, не накладывая на себя самоограничений. Денежная политика таких государств определяется их расширенным правительством (правительство плюс центральный банк) и не зависит от других государств. Несуверенные государства по тем или иным причинам ставят выпуск валюты в зависимости от валют иностранных государств. Политика несуверенных государств принимает множество форм. Например, такие государства учреждают валютные советы вместо полноценных центральных банков (страны зоны евро), проводят стабилизирующие обменные курсы валютные интервенции (Россия), полная или частичная фиксация обменного курса по отношению к одной из иностранных валют (КНР), принятие иностранной валюты в качестве государственной (доллар США в качестве официальной валюты Эквадора). Политика всех современных государств с суверенной валютой имеет множество схожих черт. Теоретическая часть СДТ описывает эти черты и некоторые последствия принятия фиксированного обменного курса.
Практическая часть СДТ в том виде, в котором она понимается в СМИ, состоит, как правило, из рекомендаций по экономической политике, которые можно отнести к левой части политического спектра. Это объясняется тем, что большинство создателей и сторонников СДТ имеют левые политические взгляды. Однако это не означает, что СДТ — левая экономическая теория. Любые существующие политические силы так или иначе пользуются механизмами денежной системы, описываемой СДТ. Единственные политические течения, находящиеся в прямом конфликте с СДТ, — разновидности рыночного анархизма и либертарианства, не признающие государственное налогообложение. Способность собирать налоги в СДТ и хартализме — краеугольный камень суверенной денежной системы, необходимый для обеспечения концентрации общественных ресурсов на выполнении государственных задач и формирования частных сбережений.
